Binäre Dezimalgleichung

Konvertieren von Dezimalbrüchen in Binär In dem eigentlichen Text haben wir gesehen, wie die Dezimalzahl 14.75 in eine Binärdarstellung konvertiert wird. In diesem Fall stellen wir fest, daß der Bruchteil der binären Expansion 34 offensichtlich 12 ist. Während dies für dieses spezielle Beispiel gearbeitet hat, braucht es einen systematischeren Ansatz für weniger offensichtliche Fälle. In der Tat gibt es eine einfache, Schritt-für-Schritt-Methode für die Berechnung der binären Erweiterung auf der rechten Seite des Punktes. Wir veranschaulichen die Methode, indem Sie den Dezimalwert .625 in eine binäre Darstellung umwandeln. Schritt 1 . Beginnen Sie mit dem Dezimalbruch und multiplizieren Sie mit 2. Der ganze Zahlenteil des Ergebnisses ist die erste binäre Ziffer rechts vom Punkt. Weil .625 x 2 1 .25 ist die erste binäre Zahl rechts vom Punkt eine 1. Bisher haben wir .625 .1. (Basis 2). Schritt 2 . Als nächstes ignorieren wir den ganzen Zahlenteil des vorherigen Ergebnisses (die 1 in diesem Fall) und multiplizieren mit 2 noch einmal. Der ganze Zahlenteil dieses neuen Ergebnisses ist die zweite binäre Zahl rechts vom Punkt. Wir werden diesen Vorgang fortsetzen, bis wir eine Nullstelle als Dezimalteil erhalten oder bis wir ein unendliches Wiederholungsmuster erkennen. Wegen 0,25 x 2 0,50 ist die zweite binäre Zahl rechts vom Punkt eine 0. Bisher haben wir .625 .10. (Basis 2). Schritt 3 . Unberücksichtigung der ganzen Zahl Teil des vorherigen Ergebnis (dieses Ergebnis war .50 so gibt es tatsächlich keine ganze Zahl Teil zu ignorieren in diesem Fall), multiplizieren wir mit 2 noch einmal. Der ganze Zahlenteil des Ergebnisses ist nun die nächste Binärzahl rechts vom Punkt. Weil .50 x 2 1 .00 ist die dritte binäre Ziffer rechts vom Punkt eine 1. So jetzt haben wir .625 .101. (Basis 2). Schritt 4. In der Tat brauchen wir keinen Schritt 4. Wir sind in Schritt 3 fertig, weil wir 0 als den Bruchteil unseres Ergebnisses haben. Daher die Darstellung von .625 .101 (Basis 2). Sie sollten unser Ergebnis durch Erweitern der Binärdarstellung verdoppeln. Unendliche Binärfraktionen Die Methode, die wir gerade erforscht haben, kann verwendet werden, um zu zeigen, wie einige Dezimalfraktionen unendliche Binärfraktionserweiterungen erzeugen werden. Wir veranschaulichen unter Verwendung dieser Methode, um zu sehen, daß die binäre Darstellung der Dezimalfraktion 110 tatsächlich unendlich ist. Rufen Sie unsere Schritt-für-Schritt-Prozess für die Durchführung dieser Umwandlung. Schritt 1 . Beginnen Sie mit dem Dezimalbruch und multiplizieren Sie mit 2. Der ganze Zahlenteil des Ergebnisses ist die erste binäre Ziffer rechts vom Punkt. Weil .1 x 2 0 .2 ist die erste binäre Zahl rechts vom Punkt eine 0. Bisher haben wir .1 (dezimal) .0. (Basis 2). Schritt 2 . Als nächstes ignorieren wir den ganzen Zahlenteil des vorherigen Ergebnisses (0 in diesem Fall) und multiplizieren mit 2 noch einmal. Der ganze Zahlenteil dieses neuen Ergebnisses ist die zweite binäre Zahl rechts vom Punkt. Wir werden diesen Vorgang fortsetzen, bis wir eine Nullstelle als Dezimalteil erhalten oder bis wir ein unendliches Wiederholungsmuster erkennen. Wegen 0,2 x 2 0,4 ist die zweite binäre Zahl rechts neben dem Punkt ebenfalls 0. Bisher haben wir .1 (dezimal) .00. (Basis 2). Schritt 3 . Unter Vernachlässigung des ganzen Zahlenteils des vorherigen Ergebnisses (wieder a 0) multiplizieren wir erneut mit 2. Der ganze Zahlenteil des Ergebnisses ist nun die nächste Binärzahl rechts vom Punkt. Wegen .4 x 2 0.8 ist die dritte binäre Ziffer rechts neben dem Punkt ebenfalls 0. So, jetzt haben wir .1 (dezimal) .000. (Basis 2). Schritt 4. Wir multiplizieren mit 2 noch einmal, wobei wir den ganzen Zahlenteil des vorherigen Ergebnisses (wieder eine 0 in diesem Fall) nicht beachten. Wegen .8 x 2 1 .6 ist die vierte binäre Ziffer rechts vom Punkt a 1. So, jetzt haben wir .1 (dezimal) .0001. (Basis 2). Schritt 5. Wir multiplizieren erneut mit 2, wobei wir den ganzen Zahlenteil des vorherigen Ergebnisses (a 1 in diesem Fall) nicht berücksichtigen. Weil .6 x 2 1 .2 ist die fünfte binäre Ziffer rechts vom Punkt eine 1. So, jetzt haben wir .1 (dezimal) .00011. (Basis 2). Schritt 6. Wir multiplizieren mit 2 noch einmal, ohne Rücksicht auf die ganze Zahl des vorherigen Ergebnisses. Hier können wir eine wichtige Beobachtung machen. Beachten Sie, dass dieser nächste durchzuführende Schritt (Multiplikation 2. x 2) genau die gleiche Aktion ist, die wir in Schritt 2 hatten. Wir sind dann verpflichtet, die Schritte 2-5 zu wiederholen und dann wieder unbegrenzt zu Schritt 2 zurückzukehren. Mit anderen Worten, wir erhalten nie eine 0 als Dezimalbruchteil unseres Ergebnisses. Stattdessen fahren wir nur durch die Schritte 2-5 für immer. Dies bedeutet, dass wir die Sequenz der in den Schritten 2-5 erzeugten Ziffern, nämlich 0011, immer und immer erhalten. Daher wird die endgültige binäre Darstellung sein. 1 (dezimal) .00011001100110011. (Basis 2). Das Wiederholungsmuster ist klarer, wenn wir es in der Farbe wie folgt hervorheben: 1 (dezimal) .0 0011 0011 0011 0011. (base 2). Ein Freund von mir hatte eine Hausaufgabe, wo er die Dezimalzahlen (Basis 10) Zahlen umwandeln musste Auf binär. Ich half ihm heraus und erklärte eine der Möglichkeiten, wie ich gelernt wurde, dies zu tun. Die Art, wie ich ihm zeigte, war, wiederholt die Zahl durch 2 und dann den Rest, die binäre Zahl werden die Reste von unten nach oben gelesen werden. Nachdem ich ihm den Algorithmus und ein Beispiel gezeigt hatte, machte er sich auf, um den Rest seiner Probleme zu tun. Heute schickte er mir eine E-Mail und fragte mich, warum diese Methode funktioniert. Ich war schockiert über diese Frage, ich habe noch nie einen zweiten Gedanken, warum dies funktioniert, habe ich nur tat, wie mir gesagt wurde, dass wenn ich diesen Algorithmus durchgeführt würde ich immer die richtige Antwort in binärer. Ich dachte über es für eine Weile und immer noch scheinen, um herauszufinden, warum diese Methode funktioniert, würde jede mögliche Hilfe geschätzt werden. Dies ist nicht für eine Aufgabe, nur meine Neugier und Frustration an nicht fragen, diese Frage vor. Geht es dir darum zu erklären, wie du gegangen bist: ne0times 20 e1times 21 cdots ektimes 2k ne0 2Bigl (e1 e2times 2 cdots ektimes 2 Bigr), folge ich nicht dem Übergang zur geschlossenen Form. Denken Sie daran, die Bedeutung der Basis 10 Notation, wenn Sie eine Zahl als dnd cdots d2d1d0, wo di ist die i-te Ziffer (von rechts nach links) zu schreiben, was Sie sagen ist, dass die Zahl gleich ist: d0times 100 d1times 101 d2times 102 cdots dntimes 10n . So repräsentiert z. B. 5381 die Zahl 1 mal 100 8 mal 101 3 mal 102 5 mal 103 1 80 300 5000. Das Schreiben einer Zahl in binärer (Basis 2) soll die Zahl in genau der gleichen Weise darstellen, jedoch mit Potenzen von 2 anstelle Von Potenzen von 10: der Ausdruck ekcdots e3e2e1e0 repräsentiert die Zahl ne0 mal 20 e1 mal 21 e2 mal 22 e3 mal 23 cdots ektimes 2k. Da jeder Summand außer dem ersten ein Vielfaches von 2 ist, können wir schreiben: begin nampe0times 20 e1times 21 cdots ektimes 2k ampe0 left (e1times 2rechts) left (e2times4recht) cdots left (ektimes 2 right) amp e0 left (2 mal e1right ) Links (2x (e2times2) rechts) cdots links (2times (ektimes 2) rechts) amp e0 2Bigl (e1 (e2times 2) cdots (ektimes 2) Bigr). End Das heißt, wenn Sie n durch 2 teilen, erhalten Sie einen Rest von e0 (die rechte Ziffer des Basis-2-Ausdrucks von n) und einen Quotienten von q1e1 mal 20 e2 mal 21 cdots ektimes 2. Nun können Sie die nächste Binärzahl von n bestimmen, indem wir den Vorgang mit q1 wiederholen: Wir schreiben q1 e1 2Bigl (e2 e3times 2 cdots ektimes 2 Bigr), so dass der Rest der Division q1 durch 2 die vorletzte Stelle des binären Ausdrucks von n ist , Und der Quotient ist q3, mit q3 e2 e3times 2 cdots ektimes 2. Lather, spülen und wiederholen, bis der Restquotient 0 ist. Beantwortet 28. November 11 um 1:56